Физические и философские аспекты сингулярности

Гоч В.П., Черноокий М.С.
гг. Севастополь, Санкт-Петербург

Основной фактор нынешнего времени — сингулярность, когда всё Мироздание оказалось в небольшой точке, и последующее прохождение Мироздания через Нулевую точку. В октябре 2014 года в NASA наткнулись в Космосе на нечто совершенно необъяснимое: Вселенная завихряется навстречу «крошечному» объекту в далёком Космосе. Феномен назван «чёрный поток». Об этом писал астрофизик Александр Кашлински в октябре 2008 года: далеко в Космосе нашёл себе место сгусток энергии (или Материи?), находящийся за пределами нашего текущего миропонимания, который притягивает к себе всю обозримую Вселенную на скорости 600 км/с [8, 9].

Сингулярность — от лат. singularis «единственный, особенный». В философии сингулярность обозначает единичность, неповторимость чего-либо — существа, события, явления. Больше всего над этим понятием размышляли современные французские философы — в частности, Жиль Делёз. Он трактовал сингулярность как событие, порождающее смысл и носящее точечный характер. Это поворотные пункты и точки сгибов; узкие места, узлы, преддверия и центры; точки плавления, конденсации и кипения; точки слёз и смеха, болезни и здоровья, надежды и уныния, точки чувствительности. Но, оставаясь конкретной точкой, событие неизбежно связано с другими событиями. Поэтому точка одновременно является и линией, выражающей все варианты модификации этой точки и её взаимосвязей со всем миром [6-9].

Математическая сингулярность — точка, в которой математическая функция стремится к бесконечности или имеет какие-либо иные нерегулярности поведения. В НТН сингулярность — самотрансценденция Материи. Точка математической функции, в которой значение этой функции стремится к бесконечности; 0-точка тотального Перехода Бытия из 0 в 0⁺. Самотрансценденция Материи через сингулярность возникает, когда нет Со-Творца и Мирозданию необходим новый перезапуск по схемам Единого — Большой взрыв. 0-точка охватывает все сферы бытия и познания. Мы говорим о тотальной сингулярности — 0-точке перехода Горизонта событий, где скрыты высшие измерения бытия, которые необходимо раскрыть в сознании, чтобы её пройти [1-3].

Упоминание в распространённой литературе о философской, математической, гравитационной, космологической, технологической и других видах сингулярности наводит на мысль, что понятие сингулярность — особенное, более общее, тотальное. И оно само по себе должно как-то объединять математику, философию, пространство и время. Сингулярности не наблюдаются непосредственно и являются при нынешнем уровне развития физики лишь теоретическим построением. Считается, что описание пространства-времени вблизи сингулярности должна давать квантовая гравитация. Попробуем взглянуть на сингулярность одновременно с математической, философской и физической (в том числе пространственно-временной) точек зрения.

В ряде случаев в физике и радиоэлектронике возникает необходимость корректного описания плотности излучения в особых сингулярных точках, в которых расположены точечные источники электромагнитного или акустического излучений. Так как классические уравнения математической физики, с помощью которых описывается распространение полей, справедливы только вне этих особых точек, то для модельного представления «точечного» входного воздействия Поль Дирак (1902–1984) ввёл физическое понятие единичной импульсной функции — дельта-функции (δ-функции), получившей впоследствии его имя [4-7].

Дельта-функция не является функцией в классическом смысле слова, она — математическая абстракция и определяется как обобщённая сингулярная функция. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах, так как понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, пространственную плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника тепла, силы и т.п., сосредоточенных или приложенных в одной точке. Кроме этого, дельта-функция очень удобна для описания распределений заряда, массы и т.п. на поверхностях или линиях.

С одной стороны, дельта-функция позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке. А с другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин [4-7].

С математической точки зрения дельта-функция является сингулярной единичной импульсной функцией, а её свойства позволяют распространить хорошо разработанный математический аппарат «преобразование Фурье» даже на случай неинтегрируемых сигналов. Именно поэтому она находит широкое применение в теории обработки сигналов и является важнейшей импульсной функцией при рассмотрении спектрально-временных преобразований. В ряде случаев она весьма полезна при выполнении теоретических расчётов и тестировании технических устройств [4-7].

Рис. 1. Функция Хэвисайда

Рассмотрим связь математического и физического смысла Дельта-функции. Возьмём, к примеру, некую живую систему (ЖС), которая находится в стабильном потенциальном состоянии U₀ (рис. 1). Допустим, что в какой-то момент времени t₁ эта ЖС скачком перейдёт в новое потенциальное состояние U1. Предположим, что переход выполняется очень быстро – практически мгновенно. На практике подобный переход происходит в электрической цепи, когда мы щёлкаем выключателем и тут же загорается лампочка. Понятно, что переход занимает какое-то конечное время, но в силу малости времени перехода относительно рассматриваемого интервала времени, мы можем считать этот переход практически мгновенным.

Изображённая на рис. 1 ступенчатая функция известна в математике как классическая функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция — ступенька), названная в честь Оливера Хевисайда (1850-1925) — английского учёного-самоучки, инженера, математика и физика. Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое [4-7].

В нашем случае функция Хевисайда — кусочно-постоянная функция, равная нулю для всех значений аргумента t < t₁ и единице — для значений t > t₁. В самой точке t₁ она, строго говоря, не определена, поэтому на практике её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Хотя по большому счёту это неважно [4-7].

С математической точки зрения, представленная на рис. 1 зависимость отображает бесконечную скорость мгновенного перехода ЖС от потенциала U₀ к потенциалу U₁ в момент времени t₁. Аналогичным образом мы можем рассматривать и другие скачкообразные процессы, например, переход Бытия с одного устойчивого квантового уровня на другой и т.д. Скорость V перехода из одного потенциального состояния в другое является производной от функции Хевисайда [6, 7]:

Если учесть, что первая производная от функции Хевисайда является дельта-функцией, то можно сказать, что амплитуда дельта-функции отображает скорость V перехода ЖС с одного устойчивого квантового уровня на другой (рис. 2). А так как дельта-функция является сингулярной функцией, то она показывает, что философский и физический смысл сингулярности как раз и заключается в потенциальном или квантовом переходе всего Бытия с одного устойчивого квантового уровня на другой:

Рис. 2. Дельта-функция

Прежде всего отмечаем, что дельта-функция возникает во временной (пространственной) точке, если потенциал этой точки изменяется скачкообразно. Только в одной точке t₁ дельта-функция обращается в бесконечность. На всём остальном временном (пространственном) интервале она равна нулю [4-7].

Понятно, что в реальных условиях понятия мгновенного скачкообразного перехода и бесконечности носят условный характер. Длительность перехода всегда занимает некоторый временной промежуток, но этот промежуток настолько мал по сравнению с длительностью рассматриваемого процесса, что условно его можно считать нулевым. Аналогично с амплитудой дельта-функции. Понятно, что на практике она будет конечной, но по сравнению с её нулевым значением амплитуду дельта-функции можно считать бесконечно большой [6, 7].

Произведение длительности дельта-функции на его амплитуду в математике нормируется единицей, т.е. площадь импульса дельта-функции равна единице. И в этом смысле понятие дельта-функции становится аналогичным физическим понятиям точечной массы или точечного заряда. Если уменьшать длительность импульса, то его высота должна увеличиваться так, чтобы площадь оставалась неизменной и была равна единице. А площадь — это интеграл на соответствующем временном промежутке.

Более глубокое понимание физического смысла сингулярности раскрывается, если мы перейдём к анализу Фурье-преобразования от дельта-функции. Замечательный учёный, французский математик и физик — Жан-Батист Жозеф Фурье (1768 — 1839) разработал математическую теорию, которую сегодня в его честь называют анализом Фурье или преобразованием Фурье. В соответствии с этой теорией общие математические функции могут быть представлены либо приближены через сумму более простых тригонометрических функций.

Рис. 3. Частотный спектр дельта-функции

В частности, Фурье показал, что дельта-функцию можно представить в виде суммы простых тригонометрических функций, что позволяет разложить её на колебательные компоненты — сумму простых гармонических колебаний, и значительно упрощает изучение и решение широкого спектра математических и физических задач. Например, для нашей задачи очень интересно, что дельта-функция может быть отображена в частотной области в виде бесконечного почти сплошного равномерного равноамплитудного частотного спектра, в котором гармоники всех возможных частот отстоят друг от друга на некоторый бесконечно малый частотный интервал, определяемый постоянной Планка (рис. 3) [4-7].

Говоря о скачкообразном потенциальном квантовом переходе всего Бытия, мы рассматриваем сингулярность в Пространстве-Времени. С математической точки зрения такая сингулярность описывается дельта-функцией, поэтому мы вполне можем рассматривать её как почти сплошной спектр всех возможных частот простых гармонических колебаний, который неизбежно появляется в окрестностях точки пространства-времени вследствие возникновения самой сингулярности.

Т.е., почти мгновенный потенциальный переход из одного устойчивого потенциального состояния U₀ в новое потенциальное состояние U₁ за очень короткий промежуток времени неизбежно приводит к возникновению в окрестностях точки переключения почти сплошного спектра всех возможных частот простых гармонических колебаний. Чтобы понять глубинный физический смысл этого явления, рассмотрим вначале связь пространства и времени с частотным спектром.

Для математической записи любого гармонического сигнала в физике используется обычная синусоида [6, 7]:

Обычно такое гармоническое колебание изображается в прямоугольной системе координат «Амплитуда — время» и имеет вид периодической функции (рис. 4). Наибольший временной интервал, в пределах которого ещё отсутствует повторяемость формы сигнала, называется период, обозначается буквой Т и измеряется в единицах времени — в секундах. Величина, обратная периоду, называется частотой f = 1/Т. С физической точки зрения частота периодического сигнала показывает, сколько периодов сигнала укладывается на единичном временном интервале. Частота f измеряется в Гц и отображает количество периодов сигнала, которое укладывается на временном интервале длиной в одну секунду [6, 7].

Рис. 4. Вид гармонического колебания

Если отобразить в этой системе координат несколько соседних гармоник (вторую, частота которой в два выше, третью, — частота которой в три раза выше первой и т.д.), то мы увидим, что в одном периоде самого низкочастотного колебания укладывается два периода второй гармоники, три периода третьей и т.д. (рис. 5).

Рис. 5. Изображение трёх гармоник

Понятно, если мы попытаемся изобразить в такой системе отображения весь бесконечный частотный спектр дельта-функции, то это не очень-то и получится. Ну и как минимум, не будет наглядным. Но перед тем, как перейти к более наглядной системе координат, рассмотрим процесс формирования короткого импульса дельта-функции из простых гармонических колебаний, чтобы показать её связь со временем-пространством.

В общем случае рядом Фурье называется математическая запись суммы всех гармонических составляющих, образующих тот или другой сложный периодический сигнал, а сама процедура математического описания сложного периодического сигнала или импульсной последовательности с помощью тригонометрических функций называется разложением в ряд Фурье или Фурье-анализом. В случае преобразования Фурье от дельта-функции ряд Фурье может быть записан в виде [6, 7]:

В [3] нами было показано, что дельта-функция образуется не просто суммированием всех возможных гармоник, а эти гармоники должны быть ещё связаны по фазе — иметь одинаковую начальную фазу. Для пояснения сказанного приведём пример суммирования восьми чётных гармоник с нулевыми начальными фазами и уменьшающимися амплитудами (рис. 6) [3].

Рис. 6. Суммирование восьми чётных гармоник

Результат суммирования показан на рис. 6 сплошной чёрной линией. Видим, что гармоники с более низкими частотами формируют пологую вершину прямоугольного импульса, более высокочастотные — обеспечивают крутизну его фронта и спада, а также выглаживают отрицательную часть. Добавление каждой последующей более высокочастотной гармоники всё больше приближает форму результирующего импульса к форме дельта-функции [3-5]. Обратите внимание, что для получения чёткого прямоугольного импульса или дельта-функции необходимо не просто суммировать чётные гармоники, но они ещё должны иметь одинаковые нулевые фазы в точке появления дельта-функции или сингулярности — в точке t₁.

Так как почти все реальные природные процессы являются циклическими или периодическими, то при их исследовании очень удобно использовать так называемую полярную систему координат, в которой численное значение исследуемого параметра отображается величиной радиус-вектора r(φ) и углом его поворота φ (рис. 7). С физической точки зрения один период гармонического колебания, который отображается в полярной системе координат как круг, является одним циклом. Вторая гармоника в этой системе координат — тоже круг, но за один оборот радиус-вектора первой гармоники вторая уже будет успевать сделать два оборота, т.е. два цикла, поэтому описываемый второй гармоникой цикл будет в два раза короче, и он вложен в первый.

Рис. 7. Полярная система координат и её связь с прямоугольной

Аналогично, третья гармоника в полярной системе координат отобразится как три цикла в первом самом большом цикле и т.д. Можно продолжать рассматривать в полярной системе координат четвёртую, пятую и все остальные более высокочастотные гармоники, пока не увидим: чем бóльшую частоту имеет гармоника, тем меньший у неё цикл. Поэтому самая высокочастотная гармоника имеет самый короткий цикл, вложенный во все остальные. А самая влиятельная — первая, самая низкочастотная, ибо лишь она определяет общий характер не только своего, но и всех вложенных в неё циклов [3].

Как вложены друг в друга первые три цикла, наглядно можно представить по аналогии с часовой, минутной и секундной стрелками в часах. Разница состоит лишь в количестве оборотов, — в часах 1:60, а в нашем примере 1:2. Анализируя рис. 6, мы отметили, что для образования дельта-функции гармоники должны суммироваться с начальными нулевыми фазами. Применительно к образу часов это означает, что все три стрелки дают такой эффект только в положении 12:00. Т.е. место их совпадения определяется точкой начала — нулевой начальной фазой движения!

Хотя совпадение всех трёх стрелок на часах может происходить и чаще, например, в каждом цикле минутной стрелки — второй гармоники, но одинаковая для всех нулевая начальная фаза определяется только начальной фазой самой низкочастотной первой определяющей гармоники — часовой стрелки (рис. 7). И именно через эту особенность совпадения вложенных друг в друга циклов мы можем понять более глубинный физический смысл сингулярности.

Ещё раз обратите внимание: радиус-векторы всех входящих в спектр дельта-функции колебаний совпадут лишь один раз за самый большой период (рис. 6, рис. 7). Такая ситуация возможна либо в момент появления сингулярности — дельта-функции, либо она повторится через период по истечении самого большого цикла, например, через 13,5 млрд лет! А между этими двумя проявлениями сингулярности процесс идёт по законам, определяемым самым низкочастотным циклом.

Рис. 8. Многоступенчатая функция (сверху)
и многомерная дельта-функция (снизу)

Следовательно, появление сингулярности можно рассматривать как новый запуск или перезапуск всех циклов в Мироздании — глобальный перезапуск всего Мироздания!

Второй вывод — совпадение абсолютно всех циклов в начальной точке с нулевыми фазами создаёт условия для одновременного взаимодействия со всеми составляющими спектра сингулярности и, вероятно, открывает возможность перехода между любыми вложенными циклами — другими измерениями.

Третий вывод — если сингулярность периодически повторяется сама по себе даже через очень большой период времени, то в этом случае мы уже имеем дело не с дельта-функцией, а с периодической импульсной последовательностью. Особенность частотного спектра импульсной последовательности заключается в том, что расстояние между его составляющими определяется частотой (периодом) повторения импульсов, составляющих эту последовательность, которая в нашем случае равна периоду самой низкочастотной гармоники. Следовательно, количество частотных составляющих в спектре будет уменьшаться — спектр будет обедняться, что в свою очередь приводит к искажению формы дельта-импульса и его частичному «размыванию» [3-5]. Вследствие этого идёт потеря измерений в сингулярности, и она может вырождаться.

Но возможен вариант, когда потенциальность ЖС постоянно изменяется — растёт. Постоянный прирост потенциала необязательно будет плавным, как правило, он идёт скачкообразно по квантовым уровням. И в этом случае вместо функции Хэвисайда мы уже будем иметь дело со ступенчатой функцией (рис. 8, сверху). В свою очередь многоступенчатая функция приводит к появлению множества дельта-функций (рис. 8, снизу).

Следует отметить, что в математике различают как одномерную, так и многомерные дельта-функции. Многомерная дельта-функция может быть представлена в виде произведения одномерных в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная функция [4-7]. Если мы имеем дело с бесконечно растущим потенциалом 0⁺, то количество измерений стремится к бесконечности. Философский смысл произведения дельта-функций означает их взаимодействие. В результате взаимодействия бесконечного числа дельта-функций мы получаем звезду, постоянно раскрывающуюся новыми лучами, — новыми измерениями, звезду, переливающуюся, играющую лучами! Следовательно, сингулярность раскрывается звездой, — зажигает Новую Звезду и раскрывает Новые измерения!

Литература

1. В.П. Гоч. Максимы Тотальности. Единое. — СПб: ООО «ИЦДОМ «Айзорэль», 2019.

2. В.П. Гоч. С.В. Белов. Теория Причинности. — Севастополь: Издатель Карпин А.В., 2014.

3. В.П. Гоч, М.С. Черноокий, А.А. Китаев. Физические аспекты Тотальности. — СПб: ООО «ИЦДОМ «Айзорэль», 2015.

4. Кудряков С.А. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие. — СПб.: Изд-во «Своё Издательство», 2015.

5. Татаринов В.Н., Татаринов С.В. Спектры и анализ. Учебное пособие для студентов специальностей «Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования» и «Проектирование и технология радиоэлектронных средств». — Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 2012.

6. Интернет: https://ru.bmstu.wiki/Дельта-функция_как_математическое_ описание_точечного_источника_сигнала

7. Википедия. Интернет: https://ru.wikipedia.org/wiki/Дельта-функция

8. Википедия. Интернет: https://theoryandpractice.ru/posts/6981-chto-takoe-singulyarnost-ili-pochemu-istoriya-chelovechestva-odnazhdy-stanet-nepredskazuemoy

9. Википедия. Интернет: https://yandex.ru/q/question/chto_takoe_ singuliarnost_esli_govorit_ec19f5d2/

Вверх страницы